莫比乌斯带,不可定向曲面

文章作者:无情剑客 | 2015-12-21
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公元1858年,德国数学家莫比乌斯(Mobius,1790~1868)和约翰·李斯丁发现:把一根纸条扭转180°后,两头再粘接起来做成的纸带圈,具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面(即双侧曲面),一个正面,一个反面,两个面可以涂成不同的颜色;而这样的纸带只有一个面(即单侧曲面),一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”。(也就是说,它的曲面只有一个)。

莫比乌斯带
      莫比乌斯带(Möbiusstrip或者Möbiusband),又译梅比乌斯环或麦比乌斯带,是一种拓扑学结构,它只有一个面(表面),和一个边界。它是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰·李斯丁在1858年独立发现的。这个结构可以用一个纸带旋转半圈再把两端粘上之后轻而易举地制作出来。事实上有两种不同的莫比乌斯带镜像,他们相互对称。如果把纸带顺时针旋转再粘贴,就会形成一个右手性的莫比乌斯带,反之亦类似。
      莫比乌斯带常被认为是无穷大符号“∞”的创意来源,因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去,他就永远不会停下来。但是这是一个不真实的传闻,因为“∞”的发明比莫比乌斯带还要早。
      这一切,都是由数学家看到一个粘错的纸环开始的。

莫比乌斯带
      在积分理论发展的过程中,由于曲面通常有两侧,所以人们要给曲面定个方向才能进行积分。但是,当时还没有人知道是否存在这样的曲面,它只有一侧从而无法在它上面确定一个积分的方向。
      而莫比乌斯带正是这样的一个单侧曲面,它只有一个侧面从而无法定向。所以这类曲面又有一个名字叫“不可定向曲面”。
      由于莫比乌斯带只有一个面,这个面的长度自然就是普通纸环一面长度的两倍了。有人想到将这个特性用到传送皮带上,这样的话就可以把磨损分摊到更多的地方,从而提高皮带的寿命。这个想法还获得了美国的专利。如果我们把纸带想像成金属带,让电流由其中一个夹子流入而从另一个夹子流出的话,在纸带表面的电流有两个可能的流动方向,而这两个方向的电流产生的磁场恰好互相抵消。也就是说,电流在这个装置流动的时候不会产生磁场,所以也不会有电磁感应的现象发生。这就是一个无电感电阻。这种电阻就叫默比乌斯电阻。
      莫比乌斯圈还有着更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题,却不可思议地在莫比乌斯圈上获得了解决。比如在普通空间无法实现的“手套易位问题”:人左右两手的手套虽然极为相像,但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去;也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去,左手套永远是左手套,右手套也永远是右手套。不过,倘若你把它搬到莫比乌斯圈上来,那么解决起来就易如反掌了。
      “手套移位问题”告诉我们:堵塞在一个扭曲了的面上,左、右手系的物体可以通过扭曲实现转换。让我们展开想象的翅膀,
      设想我们的空间在宇宙的某个边缘,呈现出麦比乌斯圈式的弯曲。那么,有朝一日,我们的星际宇航员会带着左胸腔的心脏出发,却带着右胸腔的心脏返回地球呢!
      瞧,莫比乌斯圈是多么的神奇!但是,莫比乌斯圈具有一条非常明显的边界。这似乎是一种美中不足。公元1882年,另一位德国数学家费力克斯·克莱茵(FelixKlein,1849~1925),终于找到了一种自我封闭而没有明显边界的模型,后来以他的名字命名为“克莱因瓶”。这种怪瓶实际上可以看作是由一对莫比乌斯圈,沿边界粘合而成。
      莫比乌斯圈在数学中的应用数学中有一个重要分支叫拓扑学,主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的,莫比乌斯圈变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。
      莫比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑,艺术,工业生产中。运用莫比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路,避免车辆行人的拥堵。


 

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